(资料图)

从定义可以看出，对于任意的t，f₁(t)*f₂(t)的值为函数f₁(τ)在整个实数域R上的加权平均值。当t=0时，权重函数(也叫卷积核)为f₂(-τ)，当t为其他值时，权重函数为f₂(-τ)在自变量轴上平移t后得到的函数，即f₂(-(τ-t))=f₂(t-τ)。也就是说，对于不同的t值，对应的权重函数可以看成是某一个确定的函数水平平移t得到的。因此卷积运算就是求移动平均，它可以让函数图像变得更加光滑，可以用于去除信号或图像的噪声。卷积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律。由于卷积满足交换律，也可以将f₁(t)*f₂(t)看成是对f₂(τ)求移动平均，此时权重函数为f₁(t-τ)事实上，所有用仪器对一定时间或空间范围内的物理量进行测量的过程都可以看作求卷积的过程，卷积核取决于仪器的特性。卷积定理若函数f₁(t)和f₂(t)满足傅里叶积分定理(傅里叶变换)中的条件，则有​​即两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换的乘积乘以2π，两个函数乘积的傅里叶变换等于这两个函数的傅里叶变换的卷积。有的地方卷积定理表达式等号右边的系数有点差异，这取决于定义傅里叶变换和逆变换时，傅里叶积分中的系数2π是放在正变换中还是否拆分为两个√2π然后分别放在正变换和逆变换中。卷积定理的物理意义和应用卷积定理本身就提供了计算卷积的傅里叶变换和逆变换的一种简便方法。它在处理解微分方程和积分方程求解等数学问题时也非常实用。仪器对物理量的测量过程可以看作卷积运算，此时实测信号的傅里叶变换，可以用真实物理量的傅里叶变换与表示仪器特性的函数的傅里叶变换两者之积表示。只要知道真实的物理量(例如可以人为按已知的速率向房间内释放二氧化碳)的值和测量值，那么就可以根据卷积定理计算出仪器的特性函数，这可以看作仪器的标定过程；若知道仪器的特性函数和物理量的测量值，就可以根据卷积定理计算出物理量的真实值。

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